Question

17．如图，在五棱锥S-ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=$\sqrt{3}$，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°
（1）求证：SB⊥BC；
（2）求点E到平面SCD的距离；
（3）求平面SCB与平面SCA的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）欲证SB⊥BC，需证明BC⊥平面SAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面SAB内两相交直线垂直，而BC⊥BA，SA⊥BC，又SA∩BA=A，满足定理所需条件．
（2）以B为原点，BF为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到平面SCD的距离．
（3）求出平面SCB的法向量和平面SCA的法向量，利用向量法能求出平面SCB与平面SCA的夹角的余弦值．

解答 证明：（1）∵SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=$\sqrt{3}$，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°，
∴△ABE为等腰三角形，∠BAE=120°，
∴∠ABE=30°，又∠FBE=60°，
∴∠ABC=90°，∴BC⊥BA
∵SA⊥底面ABCDE，BC?底面ABCDE，
∴SA⊥BC，又SA∩BA=A，
∴BC⊥平面SAB．
∵SB?平面SAB，∴SB⊥BC．
解：（2）连接BE，延长BC、ED交于点F，则∠DCF=∠CDF=60°，
∴△CDF为正三角形，∴CF=DF．
又BC=DE，∴BF=EF．因此，△BFE为正三角形，
∴∠FBE=∠FCD=60°，∴BE∥CD
∵SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，
∴SB=2$\sqrt{2}$，同理SE=2$\sqrt{2}$，
又∠BAE=120°，∴BE=2$\sqrt{3}$，
以B为原点，BF为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则E（$\sqrt{3}$，3，0），S（0，2，2），C（$\sqrt{3}，0，0$），D（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
$\overrightarrow{SE}$=（$\sqrt{3}$，1，-2），$\overrightarrow{SC}$=（$\sqrt{3}$，-2，-2），$\overrightarrow{SD}$=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-2），
设平面SCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=\sqrt{3}x-2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SD}=\frac{3\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=2$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（2$\sqrt{3}$，-2，5），
∴点E到平面SCD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{SE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6\sqrt{41}}{41}$．
（3）$\overrightarrow{BS}$=（0，2，2），$\overrightarrow{SC}$=（$\sqrt{3}$，-2，-2），A（0，2，0），$\overrightarrow{AS}$=（0，0，2），
设平面SCB的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BS}•\overrightarrow{m}=2b+2c=0}\\{\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{m}=\sqrt{3}a-2b-2c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，-1），
设平面SCA的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{SC}=\sqrt{3}{x}_{1}-2{y}_{1}-2{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AS}=2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=2，得$\overrightarrow{p}$=（2，$\sqrt{3}$，0），
设平面SCB与平面SCA的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{2}•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{42}}{14}$．
∴平面SCB与平面SCA的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{42}}{14}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．