Question

1．已知函数f（x）=e^2x-1-2x-kx²．
（1）当k=0时，求f（x）的单调区间；
（2）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当k=0时，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间；
（2）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求函数导数，讨论k的范围，结合函数的单调性研究最值即可求k的取值范围．

解答 解：（1）当k=0时，f（x）=e^2x-1-2x，f'（x）=2e^2x-2，…（1分）
令f'（x）＞0，则2e^2x-2＞0，解得：x＞0，
令f'（x）＜0，则2e^2x-2＜0，解得：x＜0，…（3分）
所以，函数f（x）=e^2x-1-2x的单调增区间为（0，+∞），
单调减区间为（-∞，0）．      …．（4分）
（2）由函数f（x）=e^2x-1-2x-kx²，
则f'（x）=2e^2x-2kx-2=2（e^2x-kx-1），
令g（x）=e^2x-kx-1，则g'（x）=2e^2x-k．  …（6分）
由x≥0，所以，
①当k≤2时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，而g（0）=0，
所以g（x）≥0，即f'（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数，
而f（0）=0，所以f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．    …（9分）
②当k＞2时，令g'（x）＜0，即2e^2x-k＜0，则$0≤x＜\frac{1}{2}ln\frac{k}{2}$．
即g（x）在$[{0，\frac{1}{2}ln\frac{k}{2}}]$上为减函数，而g（0）=0，所以，g（x）在$[{0，\frac{1}{2}ln\frac{k}{2}}]$上小于0．即f'（x）＜0，
所以f（x）在$[{0，\frac{1}{2}ln\frac{k}{2}}]$上为减函数，而f（0）=0，故此时f（x）＜0，不合题意．
综上，k≤2．  …（12分）

点评 本题主要考查函数单调性的判断以及不等式恒成立的应用，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断是解决本题的关键．