Question

10．若实数a，b，c成等差数列，动直线l：ax+by+c=0与圆x²+y²=9相交于A，B两点，则使得弦长|AB|为整数的直线l共有（　　）条．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据题意，利用等差数列的定义求出直线l恒过定点（1，-2），画出图形，讨论弦长|AB|的取值范围，从而求出满足条件的直线条数．

解答 解：实数a，b，c成等差数列，所以2b=a+c，
所以直线l：ax+by+c=0恒过定点P（1，-2）；
当直线1与OP垂直时，圆心O到定点P的距离d=$\sqrt{5}$，
弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=4，满足题意，此时直线有1条；
当直线1过圆心O时，弦长|AB|=2r=6，满足题意，此时直线有1条；
当弦长|AB|=5时，对应的直线应有2条，如图所示；
综上，直线l被圆x²+y²=9所截得弦长为整数时，
对应的直线l有4条．
故选：C．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了等差数列的应用问题，是综合性题目．