Question

1．己知sinα+cosα=a（0≤a≤$\sqrt{2}$），则sinⁿα+cosⁿα关于a的表达式为sinⁿα+cosⁿα=（$\frac{a+\sqrt{-{a}^{2}+2}}{2}$）ⁿ+（$\frac{a-\sqrt{-{a}^{2}+2}}{2}$）ⁿ．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，整理表示出sinαcosα，根据sinα+cosα与sinαcosα构造方程，将原式变形即可．

解答 解：把sinα+cosα=a（0≤a≤$\sqrt{2}$），两边平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=a²，
整理得：sinαcosα=$\frac{{a}^{2}-1}{2}$，
构造方程x²-ax+$\frac{{a}^{2}-1}{2}$=0，
解得：x=$\frac{a±\sqrt{-{a}^{2}+2}}{2}$，且sinα与cosα为方程的解，
则sinⁿα+cosⁿα=（$\frac{a+\sqrt{-{a}^{2}+2}}{2}$）ⁿ+（$\frac{a-\sqrt{-{a}^{2}+2}}{2}$）ⁿ．
故答案为：（$\frac{a+\sqrt{-{a}^{2}+2}}{2}$）ⁿ+（$\frac{a-\sqrt{-{a}^{2}+2}}{2}$）ⁿ

点评 此题考查了三角函数的化简求值，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键．