Question

3．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，四边形BDD₁B₁是正方形．E是棱CC₁的中点．
（1）求证：面BED₁⊥面BDD₁B₁；
（2）求二面角B₁-AD₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中点F，连结DF，以D为原点，DA为x轴，DF为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角系，由此有证明面BED₁⊥面BDD₁B₁．
（2）求出二面角B₁AD₁的法向量和二面角AD₁C₁的法向量，由此能求出二面角B₁-AD₁-C₁的余弦值．

解答 证明：（1）取BC中点F，连结DF，
以D为原点，DA为x轴，DF为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角系，
设正方形BDD₁B₁的边长为2，
则B（1，$\sqrt{3}$，0），E（-1，$\sqrt{3}$，1），D₁（0，0，2），D（0，0，0），
$\overrightarrow{BE}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{DB}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，0，2），
设平面BED₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-2x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{D}_{1}}=-x-\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2），
设平面BDD₁B₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=a+\sqrt{3}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{D}_{1}}=2c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，-1$，0），
∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}-\sqrt{3}+0=0$，
∴面BED₁⊥面BDD₁B₁．
解：（2）A（2，0，0），D₁（0，0，2），B₁（1，$\sqrt{3}$，2），C₁（-1，$\sqrt{3}$，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，$\sqrt{3}，2$），
设二面角B₁AD₁的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-{x}_{1}+\sqrt{3}{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-2{x}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{p}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），
设二面角AD₁C₁的法向量$\overrightarrow{q}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-2{x}_{2}+2{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-3{x}_{2}+\sqrt{3}{y}_{2}+2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取x₂=1，得$\overrightarrow{q}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），
设二面角B₁-AD₁-C₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}|}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{q}|}$=$\frac{\frac{5}{3}}{\sqrt{\frac{7}{3}}•\sqrt{\frac{7}{3}}}$=$\frac{5}{7}$，
∴二面角B₁-AD₁-C₁的余弦值为$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题进要认真审题，注意向量法的合理运用．