Question

8．（1）已知函数log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x+a）的定义域为R，求实数a的取值范围．
（2）已知函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x+a）的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由x²-2x+a＞0恒成立，可得△＜0，由此求解a的取值范围；
（2）由函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x+a）的值域为R，得二次三项式x²-2x+a能够取到大于0的所有实数，可得△≥0，进一步求解不等式得a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x+a）的定义域为R，
∴对任意实数x，x²-2x+a＞0恒成立，则△=（-2）²-4a＜0，解得a＞1；
（2）∵函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x+a）的值域为R，
∴二次三项式x²-2x+a能够取到大于0的所有实数，
则△=（-2）²-4a≥0，解得a≤1．

点评 本题考查函数的定义域与值域的求法，考查数学转化思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．