Question

8．在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，沿AC折成大小为60°的二面角，则BD等于$\frac{\sqrt{65}}{5}$．

Answer 1

分析 沿AC折成大小为60°的二面角D-AC-B后，过B、D做AC的垂线分别交AC于E、F，设D在平面ACB的投影为H，分别求出BE=DF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，AF=CE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，从而得到EF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，进而求出DH和FH，再由BD²=（BE-FH）²+EF²+DH²，能求出结果．

解答 解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，
连结AC、BD，交于O，则AC=BD=$\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
沿AC折成大小为60°的二面角D-AC-B后，
∵过B、D做AC的垂线分别交AC于E、F，
设D在平面ACB的投影为H，连结FH，
过H作HG⊥BE，交BE于G，
BE=DF=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
AF=CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{4}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则EF=AE-AF=AE-CE=AC-CE-CE=AC-2CE=$\sqrt{5}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
DH=DFsin60°=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，FH=DFcos60°=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BD²=（BE-FH）²+EF²+DH²=$\frac{1}{5}+\frac{9}{5}+\frac{3}{5}$=$\frac{13}{5}$，
∴BD=$\frac{\sqrt{65}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{65}}{5}$．

点评 本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．