Question

18．在极坐标系中，已知三点M（2，一$\frac{π}{3}$），N（2，0），P（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）．
（]）求线段MN的长；
（2）判断M，N，P三点是否在一条直线上，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：∠MON=$\frac{π}{3}$，|OM|=|ON|，可得△OMN是等边三角形，即可得出结论．
（2）三点M，N，P分别化为直角坐标：M$（1，-\sqrt{3}）$，N（2，0），P（3，$\sqrt{3}$）．分别计算斜率k_MN，k_NP，即可判断出结论．

解答 解：（1）∵M（2，一$\frac{π}{3}$），N（2，0），
∴∠MON=$\frac{π}{3}$，又|OM|=|ON|，
∴△OMN是等边三角形，∴|MN|=2．
（2）三点M（2，一$\frac{π}{3}$），N（2，0），P（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）分别化为直角坐标：M$（1，-\sqrt{3}）$，N（2，0），P（3，$\sqrt{3}$）．
k_MN=$\frac{-\sqrt{3}-0}{1-2}$=$\sqrt{3}$，k_NP=$\frac{0-\sqrt{3}}{2-3}$=$\sqrt{3}$，
∴k_MN=k_NP，
∴M，N，P三点在一条直线上．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的互化及其应用、斜率计算公式、等边三角形的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．