Question

3．设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d有两个极值点x₁，x₂，若点P（x₁，f（x₁））为坐标原点，点Q（x₂，f（x₂））在圆C：（x-2）²+（y-3）²=1上运动时，则函数f（x）图象的切线斜率的最大值为（　　）

• A． 3+$\sqrt{2}$
• B． 2+$\sqrt{3}$
• C． 2+$\sqrt{2}$
• D． 3+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出c=0，d=0，得到x₂=-$\frac{2b}{3a}$＞0，f（x₂）=$\frac{{4b}^{3}}{2{7a}^{2}}$＞0，判断出a＜0，b＞0，得到k_max=$\frac{3f{（x}_{2}）}{{2x}_{2}}$，根据二次函数的性质求出$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$的最大值，从而求出k的最大值即可．

解答 解：f′（x）=3ax²+2bx+c，若点P（x₁，f（x₁））为坐标原点，
则f′（0）=0，f（0）=0，故c=0，d=0，
∴f′（x）=3ax²+2bx=0，解得：x₂=-$\frac{2b}{3a}$，
∴f（x₂）=$\frac{{4b}^{3}}{2{7a}^{2}}$，又Q（x₂，f（x₂））在圆C：（x-2）²+（y-3）²=1上，
∴x₂=-$\frac{2b}{3a}$＞0，f（x₂）=$\frac{{4b}^{3}}{2{7a}^{2}}$＞0，∴a＜0，b＞0，
∴k_max=-$\frac{{b}^{2}}{3a}$=$\frac{3f{（x}_{2}）}{{2x}_{2}}$，
而$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$表示⊙C上的点Q与原点连线的斜率，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{（x-2）}^{2}{+（y-3）}^{2}=1}\end{array}\right.$，
得：（1+k²）x²-（6k+4）x+12=0，
得：△=0，解得：k=$\frac{6±2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$的最大值是2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴k_max=3+$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质和直线与圆的关系，是一道中档题．