Question

15．已知a∈R，函数f（x）=e^x+ax²，g（x）是f（x）的导函数，
（Ⅰ）当a＞0时，求证：存在唯一的x₀∈（-$\frac{1}{2a}$，0），使得g（x₀）=0；
（Ⅱ）若存在实数a，b，使得f（x）≥b恒成立，求a-b的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，利用函数零点的判定定理进行判断即可．
（Ⅱ）利用不等式恒成立，转化为求函数的最值，求函数的导数，判断函数的单调性求函数的最值进行求解．

解答 （Ⅰ）证明：∵g（x）=f′（x）=e^x+2ax，g′（x）=e^x+2a，------------------------（1分）
当a＞0时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（-∞，+∞）上的单调递增，------------------------（2分）
又g（-$\frac{1}{2a}$）=${e}^{-\frac{1}{2a}}$-1＜0，g（0）=1＞0，-----------------------------------------------（3分）
∴存在唯一的x₀∈（-$\frac{1}{2a}$，0），使得g（x₀）=0；-----------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）解：（1）当a＜0时，则当x＜0时，g（x）＞0，
即函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，且当x→-∞时，f（x）→-∞，这与f（x）≥b矛盾；---------------------------（5分）
（2）当a=0，由e^x≥b，得b≤0，∴a-b≥0；------------------------------------------（6分）
（3）当a＞0，由（Ⅰ）知当x∈（-∞，x₀）时，g（x）＜0；当x∈（x₀，+∞）时，g（x）＞0；
即f（x）在（-∞，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，----------------------------------（7分）
∴f（x）的最小值为f（x₀），-----------------------------------------------------------------------------------（8分）
其中x₀满足${e}^{{x}_{0}}$+2ax₀=0，故a=-$\frac{{e}^{{x}_{0}}}{2{x}_{0}}$且x₀＜0，
∵f（x）≥b恒成立，∴b≤f（x₀），
即-b≥-${e}^{{x}_{0}}$-ax₀²，于是a-b≥-${e}^{{x}_{0}}$-ax₀²=-${e}^{{x}_{0}}$（1+$\frac{1}{2{x}_{0}}$-$\frac{{x}_{0}}{2}$），------------------（9分）
记h（x）=-e^x（1+$\frac{1}{2x}$-$\frac{x}{2}$），x＜0，
则h′（x）=$\frac{1}{2{x}^{2}}$e^x（x-1）²（x+1），-----------------（10分）
由h′（x）＜0得x＜-1，即函数h（x）在（-∞，-1）上单调时递减，
由h′（x）＞0得-1＜x＜0，即函数h（x）在（-1，0）上单调递增，
∴h（x）_min=h（-1）=-$\frac{1}{e}$，
综上得a-b的最小值为-$\frac{1}{e}$，此时x₀=-1．--------------------------------------------------（14分）

点评 本题主要考查函数单调性和最值的应用，结合函数零点的判定定理进行转化，求函数的导数是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．