Question

5．如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AA₁=2AB=2AC，点D是BC的中点．
（I）求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值．
（Ⅱ）求二面角D-AC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值．
（Ⅱ）求出平面DAC₁的法向量和平面AC₁C的法向量，由此能求出二面角D-AC₁-C的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AA₁=2AB=2AC，点D是BC的中点，
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AA₁=2AB=2AC=2，
则A₁（0，0，2），B（1，0，0），C₁（0，1，2），
C（0，1，0），D（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），
设异面直线A₁B与C₁D所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{C}_{1}D}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{{C}_{1}D}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{5}•\sqrt{\frac{1}{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（Ⅱ）A（0，0，0），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，1，2），
设平面DAC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-2，1），
平面AC₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角D-AC₁-C的平面角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角D-AC₁-C的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．