Question

4．已知 AC，BD是圆x²+y²=4的互相垂直的两条弦，垂足为M（1，$\sqrt{2}}$），则四边形ABCD面积的最大值为M，最小值为N，则M-N的值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 设圆心到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，则 d₁²+d₂² =3，代入面积公式s=$\frac{1}{2}$AC×BD，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值；当 AC，BD中一条经过圆心时，四边形ABCD面积有最小值，求出最小值，则答案可求．

解答 解：如图，
连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F，
∵AC⊥BD，
∴四边形OEMF为矩形
已知OA=OC=2  OM=$\sqrt{3}$，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，
则d₁²+d₂²=OM²=3．
四边形ABCD的面积为：s=$\frac{1}{2}$•|AC|（|BM|+|MD|），
从而：s=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=2$\sqrt{（4-{{d}_{1}}^{2}）（4-{{d}_{2}}^{2}）}$≤8-（${{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}$）=5，
当且仅当d₁² =d₂²时取等号，∴M=5；
当 AC，BD中一条经过圆心时，四边形ABCD面积有最小值，
不妨设AC经过圆心，则|AC|=4，|OM|=$\sqrt{3}$，则|MD|=1，|BD|=2，
∴N=$\frac{1}{2}×2×4=4$．
∴M-N=5-4=1．
故选：D．

点评 本题考查圆的方程，考查了直线与圆位置关系的应用，训练了圆内接矩形面积最值的求法，是中档题．