Question

19．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．P和Q分别是BC和CD的中点，求：
（1）A₁D与PQ所成角的大小；
（2）A₁Q与平面B₁PB所成角的余弦值；
（3）二面角C一D₁B₁-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A₁D与PQ所成角的大小．
（2）求出平面B₁PB的法向量，利用向量法能求出A₁Q与平面B₁PB所成角的余弦值．
（3）求出平面CD₁B₁的法向量和平面D₁B₁B的法向量，利用向量法能求出二面角C一D₁B₁-B的余弦值．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
A₁（2，0，2），D（0，0，0），P（1，2，0），Q（0，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-2，0，-2），$\overrightarrow{PQ}$=（-1，-1，0），
设A₁D与PQ所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}D}•\overrightarrow{PQ}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}D}|•|\overrightarrow{PQ}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴A₁D与PQ所成角的大小为60°．
（2）$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=（-2，1，-2），平面B₁PB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
设A₁Q与平面B₁PB所成角为α，
则sinα=|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}Q}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}Q}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{3}$，
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴A₁Q与平面B₁PB所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（3）B（2，2，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{{D}_{1}C}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}{B}_{1}}$=（2，2，0），$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（2，2，-2），
设平面CD₁B₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}_{1}C}=2b-2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}_{1}{B}_{1}}=2a+2b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-1），
设平面D₁B₁B的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{{D}_{1}{B}_{1}}=2{x}_{1}+2{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{{D}_{1}B}=2{x}_{1}+2{y}_{1}-2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{p}$=（1，-1，0），
设二面角C一D₁B₁-B的平面角为β，
则cosβ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴二面角C一D₁B₁-B的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线面角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．