Question

7．如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，CF⊥平面ABCD，DE∥CF，AD⊥DB．
（1）求证：BD⊥AE．
（2）若DE=1，CB=CD=CF=2，求二面角E-BD-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BD⊥ED，AD⊥DB，从而BD⊥平面ADE，由此能证明BD⊥AE．
（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BD-F的余弦值．

解答 证明：（1）∵ABCD是直角梯形，CF⊥平面ABCD，DE∥CF，
∴ED⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴BD⊥ED，
∵AD⊥DB，AD∩ED=D，
∴BD⊥平面ADE，
∵AE?平面ADE，∴BD⊥AE．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，
D（0，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），F（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2），
$\overrightarrow{DB}$=（0，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{DF}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，2），
设平面BDF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，0，1$），
平面BDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角E-BD-F的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角E-BD-F的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．