Question

19．已知函数f（x）=xe^x+ax²-2x，a∈R．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对x≥0时，恒有f′（x）-f（x）≥（4a+2）x-1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-1时，由f′（x）=（x+1）（e^x-2）＞0可求得函数f（x）的单调递增区间，由f′（x）＜0可求得f（x）的单调递减区间；
（2）设g（x）=f′（x）-f（x）-（4a+2）x+1，利用导数可求得g′（x）=e^x-2ax-2a，构造函数u（x）=g′（x），分2a≤1与2a＞1两种情况讨论，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=xe^x-x²-2x，
f′（x）=（x+1）e^x-2（x+1）=（x+1）（e^x-2），
当x＞ln2或x＜-1时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜ln2时，f′（x）＜0；
函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（ln2，+∞），单调递减区间为（-1，ln2）；
（2）设g（x）=f′（x）-f（x）-（4a+2）x+1=e^x-ax²-2ax-1，
g′（x）=e^x-2ax-2a=u（x），
u′（x）=e^x-2a，
x≥0 时，e^x≥1．
①当2a≤1，即a≤$\frac{1}{2}$时，令u′（x）≥0，
g′（x）=e^x-2ax-2a在[0，+∞）上是单调递增的，g′（x）≥1-2a≥0，
g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）=0恒成立；
②当2a＞1即a＞$\frac{1}{2}$时，令u′（x）=0，则x=ln2a；
当x∈[0，ln2a]时，u′（x）＜0，
g′（x）=e^x-2ax-2a在[0，ln2a）上是单调递减，
所以g′（x）≤g′（0）=1-2a＜0，
所以g（x）在[0，ln2a]上单调递减，
所以g（x）≤g（0）=0这与g（x）≥0恒成立矛盾．
综上，a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上的最值，考查分类讨论思想与等价转化思想，考查综合运算、求解能力，是难题．