Question

14．设集合A满足：若a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A，且1∉A．
（1）若2∈A，请求出A中一定含有的其他元素；
（2）求证：若a∈A，则1-$\frac{1}{a}$∈A．

Answer 1

分析 （1）2∈A，则$\frac{1}{1-2}$=-1∈A，依此类推即可得出．
（2）利用a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A，且1∉A．即可得出．

解答 （1）解：∵2∈A，则$\frac{1}{1-2}$=-1∈A，
∴$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈A，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2∈A．
∴A中一定含有的其他元素是-1，$\frac{1}{2}$．
（2）证明：∵a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A，且1∉A．
∴$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=$\frac{1-a}{-a}$=1-$\frac{1}{a}$∈A．

点评 本题考查了集合的性质、元素与集合之间的关系、代数式的化简，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．