Question

已知数列{a_n}的前n项的和S_n=n²+2n，数列{b_n}是正项等比数列，且满足a₁=2b₁，b₃（a₃-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）即可求数列{a_n}的通项公式，（注意检验首项是否适合）；再代入a₁=2b₁，b₃（a₃-a₁）=b₁即可求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）先整理出数列{c_n}的通项公式，再对数列{c_n}利用错位相减法求和即可．

解答：解（1）数列{a_n}前n项的和S_n=n²+2n∴a_n=S_n-S_n-1=2n+1（n∈N，n≥2）（2分）
又a_n=S₁=3，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1（n∈N^*）（3分）
因为数列{b_n}是正项等比数列，b1=

1

2

a1=

3

2

，a3-a1=4，∴

b3

b1

=

1

a3-a1

=

1

4

，（4分）
公比为

1

2

，（5分）
数列{b_n}的通项公式为bn=

3

2

•

1

2n-1

=3•(

1

2

)n(n∈N*)（6分）
（2）所以cn=3(2n+1)(

1

2

)n，设数列{c_n}的前n项的和为T_nTn=3[3•

1

2

+5•(

1

2

)2+…+(2n+1)•(

1

2

)n]

1

2

Tn=3[3•(

1

2

)2+5•(

1

2

)3+…+（2n-1）(

1

2

)n+（2n+1）(

1

2

)n+1]
(1-

1

2

)Tn=3{3•

1

2

+2[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]-(2n+1)•(

1

2

)n+1}

1

2

Tn=3{3•

1

2

+2[

( 1 2 )2(1-( 1 2 )n-1)

1- 1 2

]-(2n+1)•(

1

2

)n+1}
∴Tn=15-(6n+15)•(

1

2

)n（12分）

点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．