Question

15．已知A（2，0），B（0，3），记圆心在原点，半径为r的圆为圆C，对于线段AB上的任意一点D，若在圆C上都存在不同的两点E，F，使得点E是线段DF的中点，则r的取值范围是（2，$\frac{12}{13}\sqrt{13}$）．

Answer 1

分析 设出F、D的坐标，可得E的坐标，代入圆的方程，可得以（0，0）为圆心，r为半径的圆，与以（-2m，-2n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，由此求得⊙C的半径r的取值范围．

解答 解：设D（m，n）（0≤m≤2），F（x，y）．
因为点E是线段DF的中点，所以E（$\frac{m+x}{2}$，$\frac{n+y}{2}$），
又E，F都在半径为r的圆C上，所以x²+y²=r²，（$\frac{m+x}{2}$）²+（$\frac{n+y}{2}$）²=r²，
因为上式是关于x，y的方程组有解，
即以（0，0）为圆心，r为半径的圆，与以（-2m，-2n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，
所以（2r-r）²＜（2m）²+（2n）²＜（r+2r）²，
又线段AB的方程为3x+2y-6=0，所以3m+2n-6=0（0≤m≤2）
所以r²＜13m²-36m+36＜9r²对任意m∈[0，2]成立．
而f（m）=13m²-36m+36在[0，2]上的值域为[$\frac{144}{13}$，36]，
又线段AB与圆C无公共点，
所以m²+（3-$\frac{3}{2}$m）²＞r²对任意m∈[0，2]成立，即r²＜$\frac{144}{13}$．
13m²-36m+36＜9r²对任意m∈[0，2]成立，则有r²＞4，
故圆C的半径r的取值范围为（2，$\frac{12}{13}\sqrt{13}$）．
故答案为：（2，$\frac{12}{13}\sqrt{13}$）．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有难度．