Question

设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a＞2c＞2b，求证：

(1)a＞0，且－3＜＜－；

(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；

(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则≤|x1－x2|＜.

 

Answer 1

（1）－3＜＜－（2）函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．（3）见解析

【解析】(1)由已知得f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0，

又3a>2c>2b，∴a＞0，b＜0.

又2c＝－3a－2b，∴3a＞－3a－2b＞2b，

∵a＞0，∴－3＜＜－.

(2)由已知得f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，

①当c＞0时，f(0)＝c＞0，f(1)＝－＜0，

∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点；

②当c≤0时，f(1)＝－＜0，f(2)＝a－c＞0，

∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．

综上所述，函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．

(3)∵x1，x2是函数f(x)的两个零点，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝＝－－，

∴|x1－x2|＝＝，

∵－3＜＜－，∴≤|x1－x2|＜.