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如图,PC⊥平面ABC,∠ACB=90°,DAB中点,
AC=BC=PC=2.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面PCD
(Ⅱ)求异面直线PDBC所成角的大小;
(Ⅲ)设M为线段PA上的点,且AP=4AM,求点A到平面BCM的距离.
(Ⅰ)证明见解析。
(Ⅱ) arccos
(Ⅲ)
本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系,异面直线所成的角,点面距离等基础知识;考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.
(Ⅰ)因为PC⊥平面ABCAB平面ABC,所以PCAB.………………………2分
ABC中,AC=BC,且DAB中点,所以CDAB
PCCD=C,所以AB⊥平面PCD.…………………………………………4分
(Ⅱ)如图,取AC中点E,连结DEPE,则DEBC
所以∠PDE(或其补角)为异面直线PD与BC所成的角.…………………5分
因为BCDEACBC,所以ACDE
PC⊥平面ABCDE平面ABC,所以PCDE
因为ACPC=C,所以DE⊥平面PAC
因为PEC平面PAC,所以DEPE.………6分
在Rt△ABC中,因为AC=BC=2,所以AB=2
在Rt△PCD中,因为PC=2,CD=AB=
所以PD=
在Rt△PDE中,因为DE=BC=1.所以cos∠PDE=
即异面直线PDBC所成的角为arccos.……………………………8分
(Ⅲ)因为BCACBCPC,所以BC⊥平面PAC,所以平面PCM⊥平面BCM
过点AANCMCMN,则AN⊥平面BCM.…………………10分
在Rt△PAC中,AC=PC=2,所以AP=2,又AP=4AM,所以AM=
ACM中,∠MAC=45°,所以CM==
MMGACACGMG=AMsin45°=
MG·AC=AN·CM,得AN=
所以点A到平面BCM的距离为.…………………………………12分
练习册系列答案
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如图,四棱锥的底面是正方形,平面上的点.

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求二面角的余弦值.

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四棱锥的底面为正方形,底面上的点.
(1)求证:无论点上如何移动,都有
(2)若//平面,求二面角的余弦值.

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∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°.
(1)求证:PA⊥平面ABCDE
(2)若G为PE中点,求证:平面PDE
(3)求二面角A-PD-E的正弦值;
(4)求点C到平面PDE的距离

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(I)求证:面 ;(II)若二面角时,求直线 与面所成角的余弦值.

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下列命题中错误的是(        ).
A.如果平面⊥平面,那么内所有直线都垂直于平面
B.如果平面⊥平面,那么内一定存在直线平行于平面
C.如果平面不垂直于平面,那么内一定不存在直线垂直于平面
D.如果平面⊥平面,平面⊥平面,那么平面

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在底面是直角梯形的四棱锥中,AD∥BC,∠ABC=90°,且,又PA⊥平面ABCD,AD=3AB=3PA=3a。
(I)求二面角P—CD—A的正切值;
(II)求点A到平面PBC的距离。

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知菱形的顶点在椭圆上,对角线所在直线的斜率为1.
(Ⅰ)当直线过点时,求直线的方程;
(Ⅱ)当时,求菱形面积的最大值.

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