Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F为棱AD、AB的中点
（1）求证：EF∥平面CB₁D₁
（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁
（3）设二面角B-B₁D₁-C 的大小为θ，求tanθ．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接BD，由正方体的几何特征及三角形的中位线定理，可得B₁D₁∥EF，进而由线面平行的判定定理可得EF∥平面CB₁D₁
（2）由正方体的结构特征，我们易得A₁C₁⊥B₁D₁，AA₁⊥B₁D₁，由线面垂直的判定定理可得B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，进而由面面垂直的判定定理可得平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁
（3）设O、G分别是上、下底面中心，连接OG、CO，易得∠GOC即为二面角B-B₁D₁-C的平面角θ，解三角形∠GOC即可得到tanθ的值．
解答：证明：（1）连接BD，在正方体中，BD∥B₁D₁（1分）
又E、F为棱AD、AB的中点，
∴BD∥EF
∴B₁D₁∥EF，（3分）
又B₁D₁?平面CB₁D₁，EF?平面CB₁D₁，
∴EF∥平面CB₁D₁，（5分）
（2）在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
又由正方体中AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?A₁B₁C₁D₁，
∴AA₁⊥B₁D₁，（2分）
又A₁C₁∩AA₁=A₁，A₁C₁，AA₁?平面CAA₁C₁，
∴B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，（4分）
又B₁D₁?平面CB₁D₁，
∴平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁（5分）
（3）∵平面CAA₁C₁⊥B₁D₁，
设O、G分别是上、下底面中心，连接OG、CO
则有OG⊥B₁D₁，OC⊥B₁D₁
∴∠GOC即为二面角B-B₁D₁-C的平面角θ…2分
∴tanθ===（设a为正方形的边长）（4分）
点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得B₁D₁∥EF，（2）的关键是熟练掌握空间中线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化，（3）的关键是证得∠GOC即为二面角B-B₁D₁-C的平面角θ．