Question

【题目】设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 x∈D，都有f（x+T）=Tf （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（ x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f（x）=x是“似周期函数”；
③函数f（x）=2x是“似周期函数”；
④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中是真命题的序号是 ． （写出所有满足条件的命题序号）

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：①∵似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，∴f（x﹣1）=﹣f（x），
∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x），
故它是周期为2的周期函数，
故正确；
②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=Tf （x），
即x+T=Tx恒成立；
故（T﹣1）x=T恒成立，
上式不可能恒成立；
故错误；
③若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则f（x+T）=Tf （x），
即2x+T=T2x恒成立；
故2T=T成立，无解；
故错误；
④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）=Tf （x），
即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；
故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立；
即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，
故 ，
故ω=kπ，k∈Z；
故正确；
所以答案是：①④．