Question

【题目】已知函数y=f（x），y=g（x）的值域均为R，有以下命题：
①若对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立，则f（x）=x．
②若对于任意x∈R都有f[f（x）]=x成立，则f（x）=x．
③若存在唯一的实数a，使得f[g（a）]=a成立，且对于任意x∈R都有g[f（x）]=x2﹣x+1成立，则存在唯一实数x0 ， 使得g（ax0）=1，f（x0）=a．
④若存在实数x0 ， y0 ， f[g（x0）]=x0 ， 且g（x0）=g（y0），则x0=y0 ．
其中是真命题的序号是 ． （写出所有满足条件的命题序号）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：①令t=f（x），则对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立可化为：f（t）=t，即f（x）=x，故①为真命题；
②令 ，显然能满足题设条件，当x≠0，有f（x）= ，不满足结论；
故②为假命题；
③假设存在实数x0 ，
∵f（x0）=a，f（g（a））=a；
∴g（a）=x0；
g（f（x0））= ﹣x0+1；
=[g（a）]2﹣g（a）+1；
而f（g（a））=a，
∴命题成立；
故③正确；
④∵ ，g（x0）=g（y0）；
∴x0=y0；
故④正确；
所以答案是：①③④
【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题．