Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是边长为2的等边三角形，点是的中点，且平面平面．

（I）求异面直线与所成角的余弦值；

（II）若点在线段上移动，是否存在点使平面与平面所成的角为？若存在，指出点的位置，否则说明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）不存在，理由见解析．

【解析】

试题分析：根据题设条件取中点，以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系．（I）利用向量法可求得异面直线与所成角的余弦值．（II）首先设存在点，且,根据三点共线，利用向量法求得点，然后利用面面角为直角，由法向量构建方程，可求得不符合题意，所以不存在．

试题解析：（I）因为平面平面，底面是菱形，，

故，取中点，则，，．

以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，，，，，，．………………2分

，，

则，，．

设异面直线与所成角为，，

所以异面直线与所成角的余弦值为．………………6分

（II）设存在点，使平面与平面所成的角为，

设，因为三点共线，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，，

令，，．………………8分

设平面的一个法向量为，，

令，，，又．………………10分

若平面与平面所成的角为，则，

故，即，此时，点在延长线上，

所以在边上不存在点使平面与平面所成的角为．………………12分