Question

14．若函数f（x）=alog₂$\frac{x}{8}$•log₂（4x）在区间[$\frac{1}{8}$，4]上的最大值是25，求实数a的值．

Answer 1

分析 令log₂x=t，根据x的范围求出t的范围，转化成关于t的二次函数，然后进行配方得到对称轴，根据二次函数的性质可求出函数y的最值，然后求出相应的a的值即可．

解答 解：令log₂x=t，x∈[$\frac{1}{8}$，4]则t∈[-3，2]，
∴f（x）=a（log₂x-3）（log₂x+2）=a（t-3）（t+2）=a（t²-t-6）=a[（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{25}{4}$]，
而函数f（t）=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{25}{4}$在区间[-3，$\frac{1}{2}$]递减，在[$\frac{1}{2}$，2]递增，
∴函数的最大值是f（-3）=6，
∴6a=25，
∴a=$\frac{25}{6}$．

点评 本题主要考查了对数的运算性质，同时考查了换元法的应用，转化与划归的数学思想，属于基础题．