Question

9．已知数列{a_n}，满足a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，求a_n．

Answer 1

分析 当n＞1时利用na_n=（a₁+2a₂+3a₃+…+na_n）-[a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1]计算可知a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，进而可得结论．

解答 解：依题意，当n＞1时，
na_n=（a₁+2a₂+3a₃+…+na_n）-[a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1]
=（4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$）-（4-$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$）
=$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{2（n+1）}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$（n≥2），
∴a_n=$\frac{1}{n}$•$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），
又∵a₁=1满足上式，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项，利用通项b_n与求和公式S_n之间的关系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．