Question

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的两条渐近线的夹角为$\frac{π}{3}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题意可得斜率为$\frac{\sqrt{2}}{a}$的渐近线的倾斜角为$\frac{π}{6}$，由tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{a}$，求得a的值，可得双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的两条渐近线的夹角为$\frac{π}{3}$，可得斜率为$\frac{\sqrt{2}}{a}$的渐近线的倾斜角为$\frac{π}{6}$，
∴tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得a=$\sqrt{6}$，∴双曲线的离心率为$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6+2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线的标准方程和简单性质，属于基础题．