Question

10．已知函数f（x）=sin2x-（2$\sqrt{2}+\sqrt{2}a$）sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{2\sqrt{2}}{cos（x-\frac{π}{4}）}$，若对任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式f（x）＞-3-2a恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a＞2$\sqrt{2}$
• B． a$＜2\sqrt{2}$
• C． a＜3
• D． a＞3

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），把f（x）转化为t的函数g（t）=t²-（2+a）t-$\frac{4}{t}$-1，再由不等式f（x）＞-3-2a恒成立，分离参数a后利用函数的单调性求得答案．

解答 解：∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[1，$\sqrt{2}$]，
∴t²=sin²x+cos²x+2sinxcosx，
则sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
∴f（x）=2sinxcosx-（2+a）（sinx+cosx）-$\frac{4}{sinx+cosx}$．
∴f（x）=g（t）=t²-（2+a）t-$\frac{4}{t}$-1，t∈[1，$\sqrt{2}$]．
∵函数f（x）＞-3-2a恒成立，
∴t²-（2+a）t-$\frac{4}{t}$-1＞-3-2a恒成立，
得：t²-2t-$\frac{4}{t}$+2＞（t-2）a，
∵t-2＜0，∴a＞$\frac{{t}^{2}-2t}{t-2}$-$\frac{4-2t}{t（t-2）}$=t+$\frac{2}{t}$．
∵函数$y=t+\frac{2}{t}$在[1，$\sqrt{2}$]上是递减函数，
∴a＞$（t+\frac{2}{t}）_{max}$=3．
故选：D．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了三角函数中的恒等变换应用，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．