Question

20．$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$=1（a，b∈{1，2，3，4，…，100}）的曲线中，所有圆面积的和等于5050π，离心率最小的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{99}=1$或$\frac{{x}^{2}}{99}+\frac{{y}^{2}}{100}=1$．

Answer 1

分析 由a=b可知圆的半径情况，代入圆的面积公式后由等差数列的前n项和得答案；再由$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$可得，要使椭圆离心率最小，则$\frac{b}{a}$最大．
∴当a=100，b=99或a=99，b=100时椭圆离心率最小．由此求出椭圆的方程．

解答 解：由题意，所有圆的半径分别为：$\sqrt{1}、\sqrt{2}、\sqrt{3}、…、\sqrt{100}$，
则圆的面积分别为：π、2π、3π、…、100π，
则所有圆面积的和等于π（1+2+3+…+100）=5050π；
由$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，
∴要使椭圆离心率最小，则$\frac{b}{a}$最大．
∴当a=100，b=99或a=99，b=100时椭圆离心率最小．
∴离心率最小的椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{99}=1$或$\frac{{x}^{2}}{99}+\frac{{y}^{2}}{100}=1$．
故答案为：5050π；$\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{99}=1$或$\frac{{x}^{2}}{99}+\frac{{y}^{2}}{100}=1$．

点评 本题考查圆的方程及面积，考查了椭圆的简单性质，训练了等差数列前n项和公式的应用，是中档题．