Question

已知函数f（x）=2x²-alnx．
（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）试问：对某个实数m，方程f（x）=m-cos2x在x∈（0，+∞）上是否存在三个不相等的实根？若存在，请求出实数a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=4x-

4

x

=

4(x2-1)

x

，利用导数性质能求出函数f（x）的极小值．
（Ⅱ）假设方程f（x）=m-cos2x在x∈（0，+∞）上存在三个不相等的实根，设F（x）=2x²-alnx+cos2x-m，则F′(x)=4x-

a

x

-2sin2x，x＞0有两个不同的零点，利用构造法和导数性质推导出a=4x²-2xsin2x，（x＞0）至多只有一个解，由此推导出方程不存在三个不相等的实根．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）定义域为（0，+∞），
由已知得f′(x)=4x-

4

x

=

4(x2-1)

x

，…（2分）
则当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是减函数，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数，
故函数f（x）的极小值为f（1）=2．…（5分）
（Ⅱ）假设方程f（x）=m-cos2x在x∈（0，+∞）上存在三个不相等的实根，
设F（x）=2x²-alnx+cos2x-m，由于F（x）在x∈（0，+∞）上图象连续不断，
则F′(x)=4x-

a

x

-2sin2x，x＞0有两个不同的零点．…（8分）
即a=4x²-2xsin2x（x＞0）有两个不同的解，
设G（x）=4x²-2xsin2x，（x＞0），
则G′（x）=8x-2sin2x-4xcos2x
=2（2x-sin2x）+4x（1-cos2x），
设h（x）=2x-sin2x，则h′（x）=2-2cos2x≥0，
故h（x）在（0，+∞）上单调递增，
则当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，即2x＞sin2x，…（11分）
又1-cos2x＞0，则G′（x）＞0，故G（x）在（0，+∞）上是增函数，
则a=4x²-2xsin2x，（x＞0）至多只有一个解，
故不存在．…（13分）

点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查满足条件的方程是否存在三个根的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．