Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）猜想数列{S_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1，n取1，2．即可求a₁，a₂；
（2）确定S_n-1S_n-2S_n+1=0，即可猜想数列{S_n}的通项公式．

解答： 解：（1）当n=1时，
x²-a₁x-a₁=0有一根为S₁-1=a₁-1，
于是（a₁-1）²-a₁（a₁-1）-a₁=0，解得a₁=

1

2

．
当n=2时，x²-a₂x-a₂=0有一根为S₂-1=a₂-

1

2

，
于是（a₂-

1

2

^）2-a₂（a₂-

1

2

）-a₂=0，
解得a₂=

1

6

．
（2）由题设（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入上式得S_n-1S_n-2S_n+1=0①
由（1）得S₁=a₁=

1

2

，S₂=a₁+a₂=

1

2

+

1

6

=

2

3

．
由①可得S₃=

3

4

，由此猜想S_n=

n

n+1

，n=1，2，3，…．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础．