Question

19．已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值及其相对应的x值．

Answer 1

分析 （1）将三角函数解析式化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，即可求函数的最小正周期；
（2）当cos（2x+$\frac{π}{4}$）=1时，即x=-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，即可求最大值．

解答 解：（1）因为f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
=（sin²x+cos²x）（cos²x-sin²x）-sin2x=cos2x-sin2x=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数的最小正周期为π；
（2）当cos（2x+$\frac{π}{4}$）=1时，即x=-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，函数的最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数解析式的化简以及最值的求法；关键是利用倍角公式正确化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，然后利用三角函数性质求最值．