Question

6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），点A（1，0），B（cosθ，t）．
（1）若向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，且$\overrightarrow{AB}$=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|，求向量$\overrightarrow{OB}$；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{AB}$共线，求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AB}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用向量垂直的条件，即数量积为0，再由向量的模的公式，解方程可得t，进而得到所求向量的坐标；
（2）由向量垂直的条件，运用配方和余弦函数的性质，可得所求最小值．

解答 解：（1）∵A（1，0），B（cosθ，t），
∴$\overrightarrow{AB}$=（cosθ-1，t），又$\overrightarrow{a}$=（-1，2），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
∴-cosθ+1+2t=0，即cosθ-1=2t  ①，
又∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|，
（cosθ-1）²+t²=5  ②，
由①②得，t²=1，
∴t=±1．
当t=1时，cosθ=3（舍去）；
当t=-1时，cosθ=-1．
∴B（-1，-1），∴$\overrightarrow{OB}$=（-1，-1）；
（2）若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{AB}$，则2cosθ-2+t=0，即t=2-2cosθ，
∴y=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AB}$=cos²θ-cosθ+（2-2cosθ）²
=5cos²θ-9cosθ+4
=5（cosθ-$\frac{9}{10}$）²-$\frac{1}{20}$．
∴当cosθ=$\frac{9}{10}$时，y_min=-$\frac{1}{20}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查三角函数的化简和求值，注意运用二次函数的最值的求法，属于中档题．