Question

11．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长与短轴长之比为2：1，且和直线x-y+1=0只有一个公共点，求此椭圆的方程．

Answer 1

分析 由题意设出椭圆方程，与已知直线方程联立，利用判别式等于0求解．

解答 解：由题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（b＞0）$，即x²+4y²-4b²=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-4{b}^{2}=0}\end{array}\right.$，消去y得：5x²+8x+4-4b²=0．
由△=8²-20（4-4b²）=-16+80b²=0，
解得：${b}^{2}=\frac{1}{5}$．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{4}{5}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{5}}=1$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础题．