Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ），θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求θ的值
（2）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最小值
（3）求函数y=f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直的坐标表示列式求得tanθ=-1，结合θ的范围求得θ的值；
（2）求出$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的坐标，代入向量模的公式求得$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$的最小值，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最小值可求；
（3）由向量数量积的坐标表示求得y=f（θ），化积后利用复合函数的单调性得答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ），θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，得sinθ+cosθ=0，即tanθ=-1，
∴θ=$-\frac{π}{4}$；
（2）$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（sinθ-1，1-cosθ）$，
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=（sinθ-1）^{2}+（1-cosθ）^{2}$
=sin²θ-2sinθ+1+1-2cosθ+cos²θ
=$-2sin（θ+\frac{π}{4}）+3$．
∵θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），∴$θ+\frac{π}{4}∈（-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，
∴sin（$θ+\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]．
则$（|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}）_{min}=1$，即|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最小值为1；
（3）y=f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$．
∵$θ+\frac{π}{4}∈（-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，
∴y=f（θ）的单调递增区间为（-$\frac{π}{2}，\frac{π}{4}$]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数的图象和性质，是中档题．