Question

12．若f（n）=sin$\frac{nπ}{6}$（n∈z）．
（1）求证：f（n）=f（n+12）；
（2）试求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）的值．

Answer 1

分析 （1）直接代入证明，即f（n+12）=sin$\frac{（n+12）π}{6}$=sin[2π+$\frac{nπ}{6}$]=sin$\frac{nπ}{6}$=f（n）；
（2）根据f（n）是一个周期为12的函数，所以每12项为一组求和．

解答 解：（1）因为f（n）=sin$\frac{nπ}{6}$，
所以，f（n+12）=sin$\frac{（n+12）π}{6}$=sin[2π+$\frac{nπ}{6}$]=sin$\frac{nπ}{6}$=f（n），
即f（n+12）=f（n），对任意整数n都成立；
（2）由（1）知，f（n+12）=f（n），
所以，每12项为一组求和，
且f（n+6）=sin（π+$\frac{nπ}{6}$）=-sin$\frac{nπ}{6}$=-f（n），
即f（n）+f（n+6）=0，
则f（1）+f（7）=0，f（2）+f（8）=0，f（3）+f（9）=0，
f（4）+f（10）=0，f（5）+f（11）=0，f（6）+f（12）=0，
因此，f（1）+f（2）+…+f（12）=0，
且2008=12×167+4，
所以，f（1）+f（2）+…+f（2008）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）
=sin$\frac{π}{6}$+sin$\frac{2π}{6}$+sin$\frac{3π}{6}$+sin$\frac{4π}{6}$=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要查考了三角函数的恒等变形，涉及三角函数的诱导公式和周期，属于中档题．