Question

若函数y=f（x）=sinx+cosx+2，x∈[0，2π），且关于x的方程f（x）=m有两个不等实数根α，β，则sin（α+β）=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   无法确定

Answer 1

B
分析：利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为y=2sin（x+ ）+2，由题意可得 2sin（x+ ）+2=m有两个不等实数根α，β．且这两个实数根关于直线x+=或直线 x+=对称，求出α+β的值，可得sin（α+β）的值．
解答：函数y=f（x）=sinx+cosx+2=2（+ ）+2=2sin（x+ ）+2．
再由x∈[0，2π）可得 ≤x+＜2π+，故-1≤sin（x+ ）≤1，故0≤f（x）≤4．
由题意可得 2sin（x+ ）+2=m有两个不等实数根α，β，
且这两个实数根关于直线x+=或直线 x+=对称，
故有 =，或 =，故 α+β= 或 α+β=，
故 sin（α+β）=，
故选B．
点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的对称性，体现了转化的数学思想，属于中档题．