Question

已知函数f（x）=x²+（2a-1）x-alnx，g（x）=-

4

x

-alnx（a∈R）．
（1）a＜0时，求f（x）的极小值；
（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在x∈[1，3]上有两个不同的交点M，N，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出其导函数以及导数为0的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出f（x）的极小值；
（2）把问题转化为x2+(2a-1)x+

4

x

=0在x∈[1，3]上有两个不同的根；再结合根的分布即可得到结论．

解答：解：（1）因为f′（x）=2x+（2a-1）-

a

x

=

(2x-1)(x+a)

x

．
当a＜-

1

2

时，在（0，

1

2

）以及（-a，+∞）上f′（x）＞0，
在（

1

2

，-a）上，f′（x）＜0
所以：f（x）在（0，

1

2

）上递增；在（

1

2

，-a）上递减，在（-a，+∞）上递增，
所以f（x）_极小值=f（-a）=-a²+a-aln（-a）．
当a＞-

1

2

时，同理可得f（x）在（0，-a）上递），在（-a，

1

2

）上递减，在（

1

2

，+∞）递增，
所以：f（x）_极小值=f（

1

2

）=a-

1

4

-aln2．
当a=-

1

2

时，f′（x）≥0恒成立，此时无极小值．
（2）函数y=f（x）与y=g（x）的图象在x∈[1，3]上有两个不同的交点M，N，
即为f（x）=g（x）在x∈[1，3]上有两个不同的根⇒x2+(2a-1)x+

4

x

=0在x∈[1，3]上有两个不同的根．
令F（x）=x²+（2a-1）x+

4

x

，要使函数在x∈[1，3]上有两个不同的根，
须满足

F(1)≥0 F(2)＜0 F(3)≥0

⇒

1+(2a-1)+4≥0 4+2(2a-1)+2＜0 9+3(2a-1)≥0

⇒-

11

9

＜a＜-1．
故a的取值范围是：-

11

9

＜a＜-1．

点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．