Question

在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a，b，c
（1）若cos(

π

3

-A)=2cosA，求A的值；
（2）若cosA=

1

3

，且△ABC的面积S=

2

c2，求sinC的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后求出tanA的值，即可确定出A的度数；
（2）法1：由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将已知面积与sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出关系式，将b=3c及cosA的值代入得到a=2

2

c，最后利用正弦定理即可求出sinC的值；
法2：由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将已知面积与sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出关系式，将b=3c及cosA的值代入得到a=2

2

c，最后利用余弦定理及锐角三角函数定义即可求出sinC的值．

解答：解：（1）∵cos（

π

3

-A）=2cosA，即

1

2

cosA+

3

2

sinA=2cosA，
∴

3

sinA=3cosA，即tanA=

3

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

；
（2）法1：∵cosA=

1

3

，且A为三角形内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
∵S=

2

c²=

1

2

bcsinA=

2

3

bc，
∴b=3c，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=9c²+c²-2c²=8c²，
∴a=2

2

c，
由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

，即

2 2 c

sinA

=

c

sinC

，得到sinC=

sinA

2 2

=

2 2 3

2 2

=

1

3

；
法2：∵cosA=

1

3

，且A为三角形内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
∵S=

2

c²=

1

2

bcsinA=

2

3

bc，
∴b=3c，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=9c²+c²-2c²=8c²，
∴a=2

2

c，
∵a²+c²=8c²+c²=9c²=b²，
∴△ABC是Rt△，角B为直角，
∴sinC=

c

b

=

1

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．