【题目】在如图所示的几何体中,四边形是菱形,四边形是矩形,平面平面,,,,为的中点,为线段上的一点.
(1)求证:;
(2)若二面角的大小为,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)连接DB,由已知可得△ABD为等边三角形,得到DE⊥AB,则DE⊥DC,再由ADNM为矩形,得DN⊥AD,由面面垂直的性质可得DN⊥平面ABCD,得到DN⊥DE,由线面垂直的判断可得DE⊥平面DCN,进一步得到DE⊥CN;
(2)由(1)知DN⊥平面ABCD,得到DN⊥DE,DN⊥DC,又DE⊥DC,以D为坐标原点,DE、DC、DN分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设,λ∈[0,1],分别求出平面PDE与平面DEC的一个法向量,由二面角P﹣DE﹣C的大小为列式求得λ即可.
(1)连接.
在菱形中,,,
为等边三角形.
又为的中点,.
又,.
四边形为矩形,.
又平面平面,
平面平面,
平面,
平面.
平面,.
又
平面.
平面,
.
(2)由(1)知平面,
平面,。
两两垂直.
以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
设,
则,.
设平面的法向量为,
则,
即,
令,则.
由图形知,平面的一个法向量为,
则,
即,即.
,
解得,的值为.
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【题目】定义:已知函数在上的最小值为,若恒成立,则称函数在上具有“”性质.
()判断函数在上是否具有“”性质?说明理由.
()若在上具有“”性质,求的取值范围.
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【题目】下列说法中,正确的是( )
A. 命题“若,则”的逆命题是真命题
B. 命题“存在”的否定是:“任意”
C. 命题“p或q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题
D. 已知,则“”是“”的充分不必要条件
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【题目】有下面四个命题,其中正确命题的序号是( )
①“直线、不相交”是“直线、为异面直线”的充分而不必要条件;②“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”;③“直线直线”的充要条件是“平行于所在的平面”;④“直线平面”的必要而不充分条件是“直线平行于内的一条直线.”
A.①③B.②③C.②④D.③④
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【题目】已知双曲线:的左、右焦点分别是、,左、右两顶点分别是、,弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴,线段BA的延长线与线段CD相交于点如图).
⑴若是的一条渐近线的一个方向向量,试求的两渐近线的夹角;
⑵若,,,,试求双曲线的方程;
⑶在⑴的条件下,且,点C与双曲线的顶点不重合,直线和直线与直线l:分别相交于点M和N,试问:以线段MN为直径的圆是否恒经过定点?若是,请求出定点的坐标;若不是,试说明理由.
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【题目】为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召,某贫困县在精准推进上下实功,在在精准落实上见实效现从全县扶贫对象中随机抽取人对扶贫工作的满意度进行调查,以茎叶图中记录了他们对扶贫工作满意度的分数(满分分)如图所示,已知图中的平均数与中位数相同.现将满意度分为“基本满意”(分数低于平均分)、“满意”(分数不低于平均分且低于分)和“很满意”(分数不低于分)三个级别.
(1)求茎叶图中数据的平均数和的值;
(2)从“满意”和“很满意”的人中随机抽取人,求至少有人是“很满意”的概率.
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