【题目】如图，在底面为矩形的四棱锥
中，平面
平面
.
（1）证明：
；
（2）若
，
，设
为
中点，求直线
与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) 
【解析】
（1）由平面
平面
可得
面
，从而可得
；
（2）建立空间直角坐标系，求出向量
及面
法向量
，代入公式即可得到结果.
（1）依题意，面面，
，
∵
面，面
面
，
∴面.
又
面，
∴.
（2）解法一：向量法
在
中，取
中点
，∵
，
∴
，∴
面，
以为坐标原点，分别以
为
轴，过点且平行于
的直线为
轴，
所在的直线为
轴，建立如图空间直角坐标系，
设
，∵
，∴
，
∴
，
，
，
，
，
∴
，
，
.
设面法向量为
，
则
，解得
.
设直线
与平面所成角为
，
则
，
因为
，∴
.
所以直线与平面所成角的余弦值为.
（2）解法二：几何法
过
作交于点，则为中点，
过
作
的平行线，过作的平行线，交点为
，连结
，
过作
交于点
，连结
，
连结
，取中点
，连结
，
，
四边形
为矩形，所以
面
，所以
，
又
，所以
面
，
所以
为线与面所成的角.
令
，则
，
，
，
由同一个三角形面积相等可得
，
为直角三角形，由勾股定理可得
，
所以
，
又因为为锐角，所以
，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
灵星计算小达人系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如下表，x为收费标准(单位:元/日)，t为入住天数(单位:天)，以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图
x | 100 | 150 | 200 | 300 | 450 |
t | 90 | 65 | 45 | 30 | 20 |
(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深人调查，记
为“入住率超过0.6的农家乐的个数，求的概率分布列
(2)z＝lnx，由散点图判断
与
哪个更合适于此模型(给出判断即可不必说明理由)?并根据你的判断结果求回归方程(a，
的结果精确到0.1)
(3)根据第(2)问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大?(100天销售额L＝100×入住率×收费标准x)
参考数据
，
，
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的左右两焦点分别为
、
.
（1）若矩形
的边
在
轴上，点
、
均在
上，求该矩形绕轴旋转一周所得圆柱侧面积
的取值范围；
（2）设斜率为
的直线
与交于
、
两点，线段
的中点为
（
），求证：
；
（3）过上一动点
作直线
，其中
，过
作直线的垂线交
轴于点
，问是否存在实数
，使得
恒成立，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】若函数
满足：集合
中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数
是等比源函数．
（
）判断下列函数：①
；②
；③
中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（
）判断函数
是否为等比源函数，并证明你的结论．
（
）证明： 
， 
，函数
都是等比源函数．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知
， 
，若
，则对此不等式描叙正
确的是（ ）
A. 若
，则至少存在一个以
为边长的等边三角形
B. 若
，则对任意满足不等式的
都存在以
为边长的三角形
C. 若
，则对任意满足不等式的
都存在以
为边长的三角形
D. 若
，则对满足不等式的
不存在以
为边长的直角三角形
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某研究机构为了解某学校学生使用手机的情况，在该校随机抽取了60名学生（其中男、女生人数之比为2：1）进行问卷调查.进行统计后将这60名学生按男、女分为两组，再将每组学生每天使用手机的时间（单位：分钟）分为
5组，得到如图所示的频率分布直方图（所抽取的学生每天使用手机的时间均不超过50分钟）.
（1）求出女生组频率分布直方图中
的值；
（2）求抽取的60名学生中每天使用手机时间不少于30分钟的学生人数.
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