Question

18．已知曲线C在x轴的上方，且曲线C上的任意一点到点F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离都小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设m＞0，过点M（0，m）的直线与曲线C相交于A，B两点．
①若△AFB是等边三角形，求实数m的值；
②若$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}＜0$，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点P（x，y）曲线C上的任意一点，由题设有|PF|+1=y-（-2），化简，即可求曲线C的方程；
（Ⅱ）①利用点差法，结合△AFB是等边三角形，求实数m的值；
②设直线AB：y=kx+m，联立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=4y}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$得x²-4kx-4m=0，利用$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}＜0$，即m²-6m+1＜4k²，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设点P（x，y）曲线C上的任意一点，由题设有|PF|+1=y-（-2），
于是x²+（y-1）²=（y+1）²，整理得x²=4y．…（2分）
由于曲线C在x的上方，所以y＞0．
所以曲线C的方程x²=4y（y＞0）．…（3分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①由题意|AF|=|BF|，即${x_1}^2+{（{{y_1}-1}）^2}={x_2}^2+{（{{y_2}-1}）^2}$，
于是${x_1}^2-{x_2}^2+{（{{y_1}-1}）^2}-{（{{y_2}-1}）^2}=0$，
将$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}^2=4{y_1}}\\{{x_2}^2=4{y_2}}\end{array}}\right.$代入，得（y₁-y₂）（y₁+y₂+2）=0，由y₁＞0，y₂＞0，得y₁=y₂．
从而x₁=-x₂，
所以|AB|=|x₁-x₂|=2|x₂|．
因为△AFB是等边三角形，所以$2|{x_2}|=\sqrt{{x_2}^2+{{（{{y_2}-1}）}^2}}$．
将${x_2}^2=4{y_2}$代入，${y_2}^2-14{y_2}+1=0$，解得${y_2}=7±4\sqrt{3}$．此时$m=7±4\sqrt{3}$．…（8分）
（此题也可结合抛物线性质求解，其它解法酌情给分）
②设直线AB：y=kx+m，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=4y}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$得x²-4kx-4m=0，△=16（k²+m）＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m．y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m，${y_1}{y_2}=（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}$
于是$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=（{{x_1}，{y_1}-1}）（{{x_2}，{y_2}-1}）={x_1}{x_2}+（{{y_1}-1}）（{{y_2}-1}）$=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=m²-6m+1-4k²．
因为$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}＜0$，即m²-6m+1＜4k²．
因k∈R，从而m²-6m+1＜0．
解得$3-2\sqrt{2}＜m＜3+2\sqrt{2}$．…（13分）

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，属于中档题．