Question

9．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱BB₁上，且A₁F⊥B₁D，求证：
（Ⅰ）直线DE∥平面A₁C₁F；
（Ⅱ）B₁D⊥平面A₁C₁F．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明DE∥AC，进而DE∥A₁C₁，据此可得直线DE∥平面A₁C₁F₁；
（Ⅱ）证明B₁D⊥A₁C₁，利用A₁F⊥B₁D，A₁F∩A₁C₁=A₁，即可证明B₁D⊥平面A₁C₁F．

解答 证明：（Ⅰ）∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∵ABC-A₁B₁C₁为棱柱，
∴AC∥A₁C₁，
∴DE∥A₁C₁，
∵A₁C₁?平面A₁C₁F，且DE?平面A₁C₁F，
∴DE∥平面A₁C₁F；
（Ⅱ）由题意，A₁C₁⊥平面A₁B，B₁D?平面A₁B，
∴B₁D⊥A₁C₁，
∵A₁F⊥B₁D，A₁F∩A₁C₁=A₁，
∴B₁D⊥平面A₁C₁F．

点评 本题考查线面平行、垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．