Question

【题目】已知函数（，为自然对数的底数）.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间是，无单调递减区间；（2）.

【解析】

（1）求出，由已知可得，进而求出，求出的解，解不等式，即可得出结论；

（2）函数有两个极值点，即有两个不同的解，分离参数，转化为两个函数交点，即可求解.

（1），

直线的斜率为，

依题意有，

，设，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以时，取得极小值，也是最小值，

，所以在单调递增，

单调递增区间是，无单调递减区间；

（2）函数有两个极值点，

有两个不同的解，

，令，

等价于与有两个不同的交点，

，

，

递增区间时，递减区间时

当时，取得极大值，也是最大值为，

且时，，

所以当时，与有两个交点，

即两个不同的解，

所以函数有两个极值点，实数的取值范围是.