Question

【题目】已知抛物线的焦点为，为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点．

(1)若当点的横坐标为，且为等边三角形，求的方程；

(2)对于(1)中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为，交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ； (2)证明见解析，

【解析】

（1）由抛物线焦半径公式知，根据等边三角形特点可知，从而得到点坐标；利用中点坐标公式求得中点；根据可构造方程求得，从而得到所求方程；（2）设直线的方程为：，，，将直线方程与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；利用三点共线，根据向量共线坐标表示可得，代入韦达定理整理得到点坐标；利用为等腰直角三角形可求得，从而构造出方程求得，根据韦达定理的形式可确定的取值范围；利用点到直线距离公式可将问题转化为关于的函数值域的求解问题；利用函数单调性求得所求的范围即可.

（1）由题意知：，

为等边三角形

中点为：

由为等边三角形知：，即轴 ，解得：

的方程为：

（2）设直线的方程为：，，，则

由得：

设，则，

三点共线

即

为等腰直角三角形

即

，可得：

，又

令，，则

在上单调递减