【题目】已知抛物线的焦点为
,
为
上位于第一象限的任意一点,过点
的直线
交
于另一点
,交
轴的正半轴于点
.
(1)若当点的横坐标为
,且
为等边三角形,求
的方程;
(2)对于(1)中求出的抛物线,若点
,记点
关于
轴的对称点为
,
交
轴于点
,且
,求证:点
的坐标为
,并求点
到直线
的距离
的取值范围.
【答案】(1) ; (2)证明见解析,
【解析】
(1)由抛物线焦半径公式知,根据等边三角形特点可知
,从而得到
点坐标;利用中点坐标公式求得
中点
;根据
可构造方程求得
,从而得到所求方程;(2)设直线
的方程为:
,
,
,将直线方程与抛物线方程联立可得韦达定理的形式;利用
三点共线,根据向量共线坐标表示可得
,代入韦达定理整理得到
点坐标;利用
为等腰直角三角形可求得
,从而构造出方程求得
,根据韦达定理的形式可确定
的取值范围;利用点到直线距离公式可将问题转化为关于
的函数值域的求解问题;利用函数单调性求得所求的范围即可.
(1)由题意知:,
为等边三角形
中点为:
由为等边三角形知:
,即
轴
,解得:
的方程为:
(2)设直线的方程为:
,
,
,则
由得:
设,则
,
三点共线
即
为等腰直角三角形
即
,可得:
,又
令,
,则
在
上单调递减
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【题目】在直角极坐标系中,直线
的参数方程为
其中
为参数,其中
为
的倾斜角,且其中
,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立平面直角坐标系,曲线C1的极坐标方程
,曲线C2的极坐标方程
.
(1)求C1、C2的直角坐标方程;
(2)已知点P(-2,0),与C1交于点
,与C2交于A,B两点,且
,求
的普通方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数,对任意实数
,
均满足
,且
,数列
,
满足
,
,则下列说法正确的有_____
①数列为等比数列;
②数列为等差数列;
③若为数列
的前n项和,则
;
④若为数列{
}的前
项和,则
;
⑤若为数列{
}的前
项和,则
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,正方体的棱长为1,
,
为线段
,
上的动点,过点
,
,
的平面截该正方体的截面记为
,则下列命题正确的是________.
①当且
时,
为等腰梯形;
②当,
分别为
,
的中点时,几何体
的体积为
;
③当为
中点且
时,
与
的交点为
,满足
;
④当且
时,
的面积
.
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【题目】如图,已知椭圆C:的左、右项点分别为A1,A2,左右焦点分别为F1,F2,离心率为
,|F1F2|=
,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点P(4,m)的直线PA1,PA2与椭圆分别交于点M,N,其中m>0,求的面积S的最大值.
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【题目】已知函数,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x.
(1)求函数f(x)的单调区间及极值;
(2)若x≥1,f(x)≤kx恒成立,求k的取值范围.
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