Question

【题目】如图所示，正方体的棱长为1，,为线段,上的动点，过点,,的平面截该正方体的截面记为,则下列命题正确的是________.

①当且时,为等腰梯形;

②当,分别为,的中点时，几何体的体积为;

③当为中点且时，与的交点为,满足;

④当且时, 的面积.

Answer 1

【答案】①②

【解析】

将①③④三个命题逐一画出图像进行分析,即可判断出真命题,从而得到正确的序号；②利用空间向量求点面距，进而得体积.

①:作图如下所示,过 作,交于,截面为

即

即截面为等腰梯形.故①正确.

②:以 为原点,、、分别为、、 轴,建立空间直角坐标系,则

,,,

,,

设平面 的法向量为,则

不妨设,则法向量.则点到平面 的距离

.故②正确.

③:延长 交 的延长线于一点,连接 交 于点

.故③错误

④:延长 交 的延长线于,连接交于,则截面为四边形

根据面积比等于相似比的平方得 .

在 中,,

边上的高为

故④错误

故答案为: ①②.