Question

【题目】已知函数，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x.

（1）求函数f(x)的单调区间及极值；

（2）若x≥1，f(x)≤kx恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为，，无极大值．（2）k≥1.

【解析】

（1）可由切线方程求得a与b的值，再还原函数的导数，通过分类讨论得出函数的增减性

（2）可通过分离参数与构造函数的方法将参数问题转化为恒成立问题，利用导数进行求解

解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，,

故f′(1)＝b－a＝1，

又f(1)＝a，点(1，a)在直线y＝x上，

∴a＝1，则b＝2.

∴且，,

当时，f′(x)<0，当时，f′(x)>0.

故函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为，

，无极大值．

(2)由题意知，恒成立，

令，

则，

令h(x)＝x－xlnx－1(x≥1)，

则h′(x)＝－lnx(x≥1)，

当x≥1时，h′(x)≤0，h(x)在[1，＋∞)上为减函数，

故h(x)≤h(1)＝0，故g′(x)≤0，

∴g(x)在[1，＋∞)上为减函数，

故g(x)的最大值为g(1)＝1，∴k≥1.