Question

【题目】在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，、分别为线段、上一点，且，.

（1）证明：；

（2）证明：平面，并求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）1.

【解析】

（1）推导出AM⊥AD，从而AM⊥平面ABCD，由此能证明AM⊥BD；（2）推导出CE＝ND，BC∥AD，EN∥AB，FN∥AM，从而平面ENF∥平面MAB，进而EF∥平面MAB，由VD﹣AEF＝VF﹣ADE，能求出三棱锥D﹣AEF的体积．

（1）∵AM＝AD＝3，MD＝3，

∴AM2+AD2＝MD2，∴AM⊥AD，

∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD＝AD，

∴AM⊥平面ABCD，

又BD平面ABCD，∴AM⊥BD．

（2）在棱AD上取一点N，使得ND＝1，

∵CE＝1，∴CE＝ND，又BC∥AD，

∴ECND，又AB∥CD，∴EN∥AB，

∵＝，∴FN∥AM，

∵FN∩EN＝N，∴平面ENF∥平面MAB，又EF平面ENF，

∴EF∥平面MAB，

∵AM⊥平面ABCD，且FD＝MD，AM＝3，

∴F到平面ABCD的距离d＝，

∴VD﹣AEF＝VF﹣ADE＝＝1．