【题目】在四棱锥中,平面
平面
,底面
为矩形,
,
,
,
、
分别为线段
、
上一点,且
,
.
(1)证明:;
(2)证明:平面
,并求三棱锥
的体积.
【答案】(1)见解析; (2)1.
【解析】
(1)推导出AM⊥AD,从而AM⊥平面ABCD,由此能证明AM⊥BD;(2)推导出CE=ND,BC∥AD,EN∥AB,FN∥AM,从而平面ENF∥平面MAB,进而EF∥平面MAB,由VD﹣AEF=VF﹣ADE,能求出三棱锥D﹣AEF的体积.
(1)∵AM=AD=3,MD=3,
∴AM2+AD2=MD2,∴AM⊥AD,
∵平面MAD⊥平面ABCD,平面MAD∩平面ABCD=AD,
∴AM⊥平面ABCD,
又BD平面ABCD,∴AM⊥BD.
(2)在棱AD上取一点N,使得ND=1,
∵CE=1,∴CE=ND,又BC∥AD,
∴ECND,又AB∥CD,∴EN∥AB,
∵=
,∴FN∥AM,
∵FN∩EN=N,∴平面ENF∥平面MAB,又EF平面ENF,
∴EF∥平面MAB,
∵AM⊥平面ABCD,且FD=MD,AM=3,
∴F到平面ABCD的距离d=,
∴VD﹣AEF=VF﹣ADE==1.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线
的参数方程;
(2)若曲线与曲线
,
在第一象限分别交于
两点,且
,求
的取值范围.
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【题目】设是圆
上的任意一点,
是过点
且与
轴垂直的直线,
是直线
与
轴的交点,点
在直线
上,且满足
.当点
在圆
上运动时,记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)已知点,过
的直线
交曲线
于
两点,交直线
于点
.判定直线
的斜率是否依次构成等差数列?并说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率
,且椭圆过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与
交于
,
两点,点
在
上,
是坐标原点,若
,判断四边形
的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.
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【题目】某鲜花店每天制作、
两种鲜花共
束,每束鲜花的成本为
元,售价
元,如果当天卖不完,剩下的鲜花作废品处理.该鲜花店发现这两种鲜花每天都有剩余,为此整理了过往100天这两种鲜花的日销量(单位:束),得到如下统计数据:
| 48 | 49 | 50 | 51 |
天数 | 25 | 35 | 20 | 20 |
| 48 | 49 | 50 | 51 |
天数 | 40 | 35 | 15 | 10 |
以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率,假设这两种鲜花的日销量相互独立.
(1)记该店这两种鲜花每日的总销量为束,求
的分布列.
(2)鲜花店为了减少浪费,提升利润,决定调查每天制作鲜花的量束.以销售这两种鲜花的日总利润的期望值为决策依据,在每天所制鲜花能全部卖完与
之中选其一,应选哪个?
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【题目】已知袋中装有红球,黑球共7个,若从中任取两个小球(每个球被取到的可能性相同),其中恰有一个红球的概率为.
(1)求袋中红球的个数;
(2)若袋中红球比黑球少,从袋中任取三个球,求三个球中恰有一个红球的概率.
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