【题目】过双曲线的右焦点且垂直于
轴的直线与双曲线交于
两点,
为虚轴的一个端点,且
为钝角三角形,则此双曲线离心率的取值范围为__________.
【答案】
【解析】分析:设出双曲线的左焦点,令x=﹣c,代入双曲线的方程,解得A,B的坐标,讨论∠DAB为钝角,可得<0,或∠ADB为钝角,可得
<0,运用向量数量积的坐标表示,再由离心率公式和范围,即可得到所求范围.
详解:设双曲线的左焦点F1(﹣c,0),
令x=﹣c,可得y=±=±
,
可得A(﹣c,),B(﹣c,﹣
),
又设D(0,b),可得=(c,b﹣
),
=(0,﹣
),
=(﹣c,﹣b﹣
),
由△ABD为钝角三角形,可能∠DAB为钝角,可得<0,
即为0﹣(b﹣
)<0,
化为a>b,即有a2>b2=c2﹣a2,
可得c2<2a2,即e=<
,
又e>1,可得1<e<,
可能△ADB中,∠ADB为钝角,可得<0,
即为c2﹣(+b)(
﹣b)<0,
化为c4﹣4a2c2+2a4>0,
由e=,可得e4﹣4e2+2>0,
又e>1,可得e>.
综上可得,e的范围为(1,)∪(
.+∞).
故答案为:
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【题目】如图,半径为2的圆内有两条圆弧,一质点M自点A开始沿弧A-B-C-O-A-D-C做匀速运动,则其在水平方向(向右为正)的速度的图像大致为( )
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【题目】已知椭圆的上、下焦点分别为
,上焦点
到直线
的距离为3,椭圆
的离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)椭圆,设过点
斜率存在且不为0的直线交椭圆
于
两点,试问
轴上是否存在点
,使得
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】某二手交易市场对某型号的二手汽车的使用年数(
)与销售价格
(单位:万元/辆)进行整理,得到如下的对应数据:
使用年数 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
销售价格 | 16 | 13 | 9.5 | 7 | 4.5 |
(I)试求关于
的回归直线方程
.
(参考公式:,
)
(II)已知每辆该型号汽车的收购价格为万元,根据(I)中所求的回归方程,预测
为何值时,销售一辆该型号汽车所获得的利润
最大?(利润=销售价格-收购价格)
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【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定:机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇到行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
不“礼让斑马线”驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 85 | 90 | 80 |
(Ⅰ)请根据表中所给前5个月的数据,求不“礼让斑马线”的驾驶员人数与月份
之间的回归直线方程
;
(Ⅱ)若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5,则称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据(Ⅰ)中的回归直线方程,判断6月份该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”?
(Ⅲ)若从表中3、4月份分别选取4人和2人,再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查,求抽取的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式:
,
.
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