Question

如图所示,在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E,F分别是BB₁,CD的中点.

(1)求证：AD⊥D₁F;

(2)求AE与D₁F所成角的大小;

(3)求证:平面AED⊥平面A₁FD₁.

Answer 1

解：设正方体的棱长为1，且设=i,    =j,=k,建立空间直角坐标系A—xyz.如右图，

(1)因为D(0,1,0),F(,1,0),D₁(0,1,1),

所以=（0，1，0），=（，0，-1）.

所以=0+0+0=0.

所以⊥.

所以AD⊥D₁F.

(2)因为E(1,0,),

所以=(1,0,).

所以·=-=0.

所以⊥，

所以AE与D₁F所成角为90°.

(3)因为·=（0，1，0）·（，0，-1）=0，

所以AD⊥D₁F.

所以AD⊥D₁F.

又因为AE⊥D₁F,AD∩AE=A,

所以D₁F⊥平面AED,又D₁F平面A₁FD₁,

所以平面AED⊥平面A₁FD₁.